В 13 лет начал заниматься дзюдо. Так, в 1995 году двоюродный брат Эльхана привёл его в этот вид спорта.
В 2003 году Мамедов становится бронзовым призёром чемпионата Азербайджана, а в 2005 году — чемпионом страны. В 2006 году Мамедов становится двукратным чемпионом Азербайджана. В 2008 году занимает второе место на чемпионате Европы в Лиссабоне. В 2009 году на чемпионате Европы в Тбилиси занимает третье место. В этом же году ему удаётся в третий раз стать чемпионом Азербайджана. В 2010 году занимает третье место на чемпионате Европы в Вене. В этом же году также занимает третье место, но уже на чемпионате мира в Токио.
В 2013 году Мамедов, одолев в финале Хиндрика Грола из Нидерландов, становиться чемпионом мира. В 2017 году Эльхан Мамедов выигрывает чемпионат Европы, победив в финальной схватке бронзового призёра Олимпиады в Рио француза Сириль Маре. В этом же году стал победителем Исламских игр солидарности, проходивших в Баку, одолев в финале своего соотечественника серебряного призёра Олимпийских игр Эльмара Гасымова.
В августе 2017 года Мамедов принял участие на чемпионате мира в Будапеште. В первой встрече он победил Кайла Рейеса из Канады, а затем — Антона Савицкого из Украины и вышел в четвертьфинал. На этой стадии Эльхан Мамедов обыграл Казбека Занкишиева из России, однако в полуфинале проиграл грузинскому спортсмену Варламу Липартелиани. В поединке за третье место Мамедов вновь встретился с Эльмаром Гасымов, уступив которому, занял 5-е место.
