В детстве 5 лет тренировался каратэ под руководством тренера Мухтара Османова. Выигрывал множество юношеских турниров по этому виду. Являлся членом сборной юношеской КБР по кёкусинкай. Имел ученическую степень 6 кю (жёлтый пояс).
С 2002 по 2009 год занимался в секции Армейского рукопашного боя у тренера Хусейна Гериева, где стал победителем 15 Первенства России по АРБ. Был членом сборной юношеской КБР по АРБ. Чемпион России по полноконтактному рукопашному бою.
Пробовал себя и в боксе, и в боевом самбо, но предпочтение отдал ММА, где стал тренироваться под руководством своего отца Туменова Хусейна.
В своем первом выступлении по версии ProFC 13.02.2010 нанес поражение Каджику Абаджяну. Карьера в UFC Первый бой в UFC Альберт Туменов провёл против бразильца Ильдемара Алькантары. Туменов хорошо начал поединок, проводя хорошие серии ударов в стойке, но раз за разом пропускал тейкдауны противника. Положение усугубило глубокое рассечение, которое Туменов получил в первом раунде.
После финального гонга один судья отдал победу Туменову, тогда как двое других посчитали, что сильнее был Алькантара. Счет судейских записок — 30-27, 29-28, 28-29. В конце 2016 года, после двух поражений подряд, появились новости о том, что Альберт решает не продлевать контракт с UFC из-за неприемлемых условий. Финальный рекорд Альберта в организации – 5 побед и 3 поражения. Absolute Championship Berkut После того, как Альберт не стал продлевать контракт с UFC, он некоторое время был свободным агентом.
И 5 марта 2017 года было объявлено, что Туменов заключил контракт с лигой АСВ. Свой дебютный бой в организации он провёл на турнире ACB 61, где нокаутировал Исмаеля Де Джизеса в начале первого раунда.