В пятилетнем возрасте переехал с родителями в Москву. Подростком Алексей увлекался боксом, тренировался в секции самбо у Анатолия Харлампиева, занимался пулевой стрельбой.
В 1960-х гг. во время учебы в Московском автодорожном институте Штурмин познакомился с северокорейским инструктором по квон-тху (жесткий стиль рукопашного боя, практикуемый в армии и полиции). Перед возвращением на Родину наставник, оценив уровень подготовки Алексея Борисовича, вручил ему черный пояс мастера.
В 1969 г. Алексей Штурмин познакомился с Тадеушем Касьяновым. В то время Касьянов был мастером спорта по боксу, и его очень заинтересовал новый вид единоборств. Алексей Борисович, видя в Касьянове хорошего организатора и спортсмена, решил вместе с ним развивать новый стиль каратэ в Советском Союзе.
В 1975 г. был объявлен первый официальный набор учеников в спортивный зал «Фрунзенец» на «Маяковке».
Благодаря стараниям Алексея Борисовича в 1978 г. была открыта Федерация каратэ СССР, а в 1979 г. на базе Дворца спорта тяжелой атлетики «Труд» основана Центральная школа каратэ (ЦШК). Штурмин стал ее руководителем, а в качестве старшего тренера пригласил Тадеуша Касьянова. Центральная школа каратэ насчитывала в своих рядах тысячи воспитанников, сотни из которых были лучшими мастерами каратэ в СССР.
В тот год, когда была открыта Центральная школа каратэ, состоялся первый чемпионат Москвы по каратэ. Турниры прошли в Ленинграде и в некоторых столицах союзных республик, например в Таллине и Ташкенте. Годом позднее прошло первенство СССР по каратэ. И все это имело место благодаря стараниям Алексея Борисовича Штурмина.
С 1978 г. Штурмин – председатель Всесоюзной комиссии по каратэ, а с 1979 г. – вице-президент Федерации каратэ СССР.
К 80-м гг. прошлого столетия в СССР наблюдался настоящий бум каратэ. И именно Штурмин стал лидером развития этого боевого искусства. У него занимались многие спортсмены, имена которых сегодня известны на весь мир.