Рустам Оруджев родился 4 октября 1991 года в России, в городе Усть-Илимск Иркутской области. С семи лет начал заниматься дзюдо. До шестнадцати жил в Иркутской области. Выступал на различных юношеских соревнованиях. После совершеннолетия переехал в Баку, где стал заниматься в клубе «Аттила». На юношеском уровне выиграл чемпионат Евразии, однако на молодёжном уровне выиграть первенство континента не удавалось. Позже Оруджев перешёл на взрослый уровень, где вначале выступал в весе до 66 кг. Первые успехи на взрослом уровне пришли после того, как Рустам Оруджев начал бороться в категории до 73 кг. В июне 2011 года на Кубке Европы в словенском городе Целе Оруджев занял второе место, в октябре этого же года на Кубке мира в Баку, где Оруджев впервые начал выступать в весе до 73 кг, — третье. В феврале 2012 года Оруджев стал пятым на на Гран-При в Дюссельдорфе. Таким турниры, позволявшие набирать очки для получения олимпийской лицензии завершились, и Оруджев сумел пробиться на Олимпиаду только благодаря континентальной квоте Европейского Союза дзюдо. В мае 2012 года на Гран-При Баку Оруджев занял уже первое место. На Олимпийских играх в Лондоне Оруджев в 1/16 финала одержал победу на Гидеон ван Зилом из ЮАР, но проиграл будущему чемпиону этих игр Мансуру Исаеву из России и завершил выступление. В 2013 году, когда Рустам Оруджев только вернулся из армии, он выступил на Гран-При Самсуна, где потерпел поражение.. Но, в мае 2013 года Оруджеву удалось стать победителем турнира «Большого шлема», проходившего в Баку. А в 2014 году на очередном турнире Гран-при в Самсуне Оруджев выиграл серебряную медаль. В 2015 году на Гран-при в Грузии Оруджев завоевал золотую медаль. В 2016 году стал чемпионом Европы. Представлял Азербайджан на летних Олимпийских играх 2016 года в Рио-де-Жанейро, где завоевал серебряную медаль по дзюдо в весе до 73 кг. 1 сентября указом президента Азербайджана был награждён орденом «За службу Отечеству III степени». В 2017 году стал серебряным призёром Исламских игр солидарности, проходивших в Баку, где в финале уступил своему соотечественнику Хидаяту Гейдарову. На чемпионате мира 2017 года Оруджев сумел дойти до финала, где, уступив японцу Сойчи Хашимото, завоевал серебряную медаль.