Александр Медведь три раза становился олимпийским чемпионом по вольной борьбе (1964, 1968, 1972), причём в трёх разных весовых категориях (полутяжёлой, тяжёлой и абсолютной), 7 раз (1962—1963, 1966—1967, 1969—1971) становился чемпионом мира, 3 раза (1966, 1968 и 1972) — чемпионом Европы. В 1961—1970 годах 9 раз становился чемпионом СССР. В 1962 году после своего первого чемпионства стал заслуженным мастером спорта, с 1965 года — член КПСС.
В 1972 году нёс флаг СССР на церемонии открытия Олимпиады в Мюнхене. После окончания спортивной карьеры работал доцентом в Минском радиотехническом институте и тренером по борьбе, был заведующим кафедрой спорта.
В 1970 году с Федерацией борьбы Белоруссии совместно с Комитетом по физической культуре и спорту при Совете Министров БССР учредил международный турнир по вольной борьбе на призы А. В. Медведя.
C 1994 года турниру присвоена престижная высшая категория международных турниров Гран-при.
В 1980 году на открытии Олимпийских игр в Москве был удостоен чести прочитать Олимпийскую клятву от имени судей.
После распада СССР стал вице-президентом НОК Белоруссии и тренером олимпийской сборной Белоруссии по вольной борьбе.
В 2001 году признан лучшим спортсменом Белоруссии XX века.
В 2004 году на церемонии открытия Олимпийских игр в Афинах нёс флаг Беларуси.
В 2005 году был признан лучшим борцом вольного стиля в истории спорта и введён в Зал спортивной славы борьбы.
Президент Белорусской федерации борьбы С 1968 года по ноябрь 2018 года работал тренером по борьбе в БГУИР.
По словам Медведя, его дедушка с бабушкой приехали на Украину из России. Бабушку звали Медведихой (прозвище получено ещё в России), её рост был 192 см. Дед был ещё выше. Сын Алексей (род. 1967) также серьёзно занимался вольной борьбой, становился чемпионом мира среди молодёжи (1987) и призёром чемпионатов СССР (1990, 1991).
Обыгрывал одного и того же спортсмена (Османа Дуралиева) в финалах престижных соревнований 8 раз.
