После переезда семьи в посёлок Бачатский начал заниматься в секции рукопашного боя под руководством тренера Юрия Анатольевича Марченко.
В 2010 году становится призёром чемпионата России по рукопашному бою (Курск), серебряным призёром VII Спартакиады Общества «Динамо» (Волгоград), бронзовым призёром первенства России (Кострома).
В 2011 году занимает первое место на первом чемпионате мира по рукопашному бою (Москва), становится победителем первенства СФО (Барнаул), чемпионом Азии (Актюбе), обедителем первенства России (Орёл), чемпионом России (Санкт-Петербург), серебряным призером Кубка России (Москва).
В 2012 году становится обладателем Кубка России (Москва), чемпионом лично-командного чемпионата МВД России (Саратов), чемпионом России (Санкт-Петербург).
В 2013 году вновь занимает первое место на чемпионате мира по рукопашному бою (Москва), становится победителем лично-командного чемпионата Всероссийского физкультурно-спортивного Общества «Динамо» по рукопашному бою (Уфа), бронзовым призёром чемпионата МВД России (Екатеринбург).
В 2014 году — чемпион России (Нальчик), чемпион Европы (Прага).
В 2015 году в третий раз становится чемпионом мира по рукопашному бою в категории до 90 кг (Москва).
В 2017 году на чемпионате мира по рукопашному бою в категории до 90 кг (Москва) занял второе место, проиграв казахстанскому спортсмену Олзжазу Абзалиеву.
21 августа 2016 года на VII Международном турнире по профессиональному боевому самбо «Плотформа S-70» провёл свой первый поединок в профессиональной карьере, победив нокаутом бразильца Хосе Апаресидо Сантос Гомеса.
26 ноября 2016 года в Ростове прошёл очередной турнир по смешанным единоборствам промоутерской компании «ACB» (Absolute Championship Berkut) — ACB49 «Ростовская сечь». Роман Копылов встретился с россиянином Исламом Гуговым, одержав победу нокаутом во втором раунде.
На турнире Fight Nights Global 59, состоявшимся 23 февраля 2017 года в Баскетбольном центре г. Химки, Роман победил техническим нокаутом Артёма Шокало.
30 июня 2017 года на турнире Fight Nights Global 69 победил техническим нокаутом американца Джейкоба Ортиса.
8 августа 2016 года на VIII Международном турнире по профессиональному боевому самбо «Плотформа S-70» выиграл нокаутом бразильца Луиса Густаво Дутра да Сильву.
30 марта 2018 года было запланировано участие Романа Копылова в турнире Fight Nights Global 85, где он встретился с российским самбистом Абусупьяном Алихановым и одержал победу техническим нокаутом.
