Родился в Делемоне в 1938 году. Его родители развелись, когда ему было 10 лет, и он воспитывался дядей в Берне. Затем, получив профессию механика, вернулся в Делемон и тогда же начал занятия дзюдо. В 1959 году в первый раз стал чемпионом Швейцарии. В 1964 году завоевал третье место на чемпионате Европы. Выступая на летних Олимпийских играх 1964 года в Токио, боролся в категории до 68 килограммов. В его категории боролись 25 спортсменов. Соревнования велись по круговой системе в группах и затем по олимпийской системе. Борцы были разделены на восемь групп по три человека в каждой (в одной четыре). Победитель группы выходил в четвертьфинал, после чего соревнования велись с выбыванием после поражения. Эрик Хенни смог дойти до финала, где, проиграв Такэхидэ Накатани, завоевал серебряную медаль Олимпийских игр. Успех Хенни вызвал настоящий бум дзюдо в Щвейцарии. Закончил карьеру в большом спорте в 1974 году. Уже с 1965 года был судьёй на соревнованиях национального уровня, с 1974 года на европейских соревнованиях, с 1985 года — судьёй мировых соревнований. С 1966 года начал тренерскую деятельность, сначала в Цюрихе, c 1967 по 1972 год в команде Nippon Bern, в 1972 году открыл в Берне собственную школу, которой руководил до 1995 года. Был тренером юниорской и взрослой сборных Швейцарии. Также был спортивным функционером, заместителем президента Бернской ассоциации дзюдо, вице-президентом ассоциации дзюдо Швейцарии. Обладатель премии лучшего спортсмена года (1965) по версии спортивных журналистов Швейцарии.