Начал заниматься спортом в родном селе под руководством тренера Шихама Берзегова.
В 1986 году стал заниматься в Майкопской СДЮШОР. Его тренерами были Сергей Себелев, Виктор Невзоров, Арамбий Хапай.
В 1992 году окончил факультет физического воспитания Майкопского педагогического института, в 2004 году — юридический факультет Адыгейского государственного университета.
11-кратный чемпион мира (1994, 1995, 1998—2006 годы), серебряный призёр чемпионата мира 1997 года, бронзовый призёр чемпионата мира 1996 года, бронзовый призёр чемпионата СНГ по дзюдо (1992). Полтора десятка лет был капитаном сборной команды России по самбо.
С 1997 года и до завершения спортивной карьеры не потерпел ни одного поражения. Многократно признавался лучшим самбистом России.
17 января 2007 года был назначен председателем Комитета по физической культуре и спорту Республики Адыгея. Депутат Государственной думы Российской Федерации VII созыва.
Участвовал в эстафете олимпийского огня 2014 года. Художник В. Ф. Баркин нарисовал картину «Король самбо Мурат Хасанов (11-кратный чемпион мира)» (холст, масло, 100х100 см). Работа над картиной продолжалась с 2008 по 2010 годы.
В своей спортивной биографии Хасанов поначалу добивался заметных успехов и в дзюдо, побеждая на татами в чемпионате России и выигрывая призовые места на чемпионатах мира и Европы. С 1993 года, однако, он делает окончательный выбор в пользу самбо, и до сих пор выходит на ковер на самом высоком уровне. А с недавнего времени он, как спортсмен-лидер своей республики, влился в команду президента Адыгеи и возглавил Комитет по физической культуре, спорту и делам молодежи.
