По национальности — осетин. Занимался футболом, борьбой и дзюдо. Начал заниматься боксом в 2007 году.
Первый свой профессиональный бой провел 21 сентября 2011 года, одержав победу по очкам. 26 июня 2013 года стал чемпионом мира среди молодёжи по версии WBC, отправив в нокаут грузинского боксёра Левана Джамардашвили во втором раунде.
1 февраля 2014 года стал чемпионом Европы по версии IBF, победив по очкам (единогласно) Исмаила Абдула. Счёт судей: 115/113, 117/111 и 120/108. 6 марта 2015 года Мурат должен был провести бой против перспективного кубинского боксёра Юниера Дортикоса, имеющего рекорд 18-0 (17 KO), но поединок был отменён. 18 декабря 2015 года встретился с американцем Айзея Томасом (англ.)русск. (15-0, 6 КО).
Победитель этого боя должен был стать обязательным претендентом на титул чемпиона мира в 1-м тяжёлом весе по версии IBF. В 3-м раунде Гассиев нанёс непреднамеренный удар после гонга, после которого Томас оказался в лёгком стоячем нокдауне и угол Томаса отказался от продолжения боя. Судьи объявили поединок несостоявшимся. 17 мая 2016 года у Мурата Гассиева состоялся бой с американским боксёром Джорданом Шиммеллом (20-1, 16 КО). Гассиев нокаутировал Шиммелла в первом же раунде. Во время подготовки к этому бою Гассиев в качестве спарринг-партнёра тренировался в спортивном лагере чемпиона мира по версии WBC в супертяжёлом весе американца Деонтея Уайлдера, который в это время усиленно готовится к бою с Александром Поветкиным. 3 декабря 2016 года в Москве, Мурат Гассиев в двенадцатираундовом бою раздельным решением судей одержал победу над своим соотечественником, чемпионом мира Денисом Лебедевым и завоевал титул чемпиона мира по версии IBF в первом тяжёлом весе. В 5-м раунде Лебедев во второй раз в своей карьере оказался в нокдауне. 21 октября 2017 года в Ньюарке (Нью-Джерси, США) в рамках Всемирной боксёрской суперсерии в первом тяжёлом весе состоялась первая обязательная защита Мурата Гассиева против поляка Кшиштофа Влодарчика. Гассиев нокаутировал соперника в 3 раунде ударом по печени.
