Ученик адыгейской школы дзюдо, воспитанник всемирно знаменитой майкопской школы дзюдо, основатель которой Коблев Якуб Камболетович, признанный лучшим тренером России XX века по дзюдо.
Отец был футболистом, играл за дилижанский клуб «Импульс», во второй половине 1970-х годов выступал в составе ереванского «Арарата».
В возрасте 7 лет в 1996 году Арсен переехал с семьёй в Россию — в станицу Гиагинскую Республики Адыгея. Учился в СОШ № 4 станицы, начал заниматься дзюдо в местной спортивной секции.
Игорь Романов — первый наставник Арсена и сейчас остаётся его личным тренером. После окончания школы он поступил в Институт Физической культуры и Дзюдо Адыгейского Государственного Университета в г. Майкоп. В институте его тренером был МСМК Хашханок Айвар Казбекович (серебряный призёр Чемпионата Мира среди мастеров).
В 2012 году на Летних Олимпийских играх в Лондоне он завоевывает золотую медаль.
Таким образом он стал первым олимпийским чемпионом в истории российского дзюдо после 1991 года, первым армянином, ставшим олимпийским чемпионом по борьбе дзюдо и одним из трех дзюдоистов армянского происхождения, завоевавших олимпийские награды по дзюдо (Бернар Чулуян в 1980-м (Франция), Армен Багдасаров в 1996-м (Узбекистан) и Арсен Галстян в 2012-м (Россия)).
Также он стал первым российским мастером, победившим в финале японца. Член Сборной России по дзюдо с 2007 года.
На Летней Универсиаде в Казани в 2013 году дошёл до финала и выиграл серебряную медаль. В 2016 году боролся на Чемпионате Европы в Казани в весовой категории до 66 кг и завоевал бронзовую медаль.
У Арсена есть два брата — старший Тигран и младший Арман, оба мастера спорта по дзюдо.
