Ислам Бозбаев родился 11 июня 1991 года в городе Темиртау Карагандинской области. С 1998 года занимается дзюдо. На Азиаде – 2010 завоевал серебро в своей весовой категории. На Чемпионате Азии 2011 года в Абу-Даби тоже был вторым. На турнире из серии “World Cup” в 2011 году в Алматы стал чемпионом. На Чемпионат Азии в 2012 году в Ташкенте стал пятым. На турните из серии “Grand Slam” в 2012 году в Токио стал бронзовым призёром. На турнире из серии “Grand Prix” в 2013 году в Алматы стал чемпионом. На турнире из серии “Grand Prix” в 2015 году в Самсуне стал бронзовым призёром. На Чемпионат Азии в 2015 году в Кувейте стал пятым. На турнире из серии “Grand Slam” в 2017 году в Баку стал чемпионом. Участник Олимпийскийх игр Лондоне. 4 раза выступал на Чемпионатах Мира. В январе 2018 года Ислам Бозбаев завоевал золотую медаль на этапе Гран-при в Тунисе.