Спортом увлекалась с раннего детства, пробовала себя в лёгкой атлетике и бадминтоне. Активно заниматься дзюдо начала в возрасте одиннадцати лет под руководством заслуженного тренера России Марата Шамилевича Бибарцева.
Тренер – заслуженный тренер России В.Г. Чащин. В сборной команде России с 1992 по 1997 год. Выступала за ЦСКА.
Впервые заявила о себе в 1986 году, одержав победу на чемпионате СССР среди юниоров, в последующие годы неоднократно побеждала на различных всесоюзных юниорских турнирах по дзюдо, выполнила норматив мастера спорта.
В 1988 году в полусредней весовой категории выиграла серебряные медали на международном турнире в Польше и на юниорском чемпионате Европы в Вене. Год спустя на европейском первенстве среди юниоров в Афинах одолела всех своих соперниц и завоевала тем самым золотую медаль. В 1990 году одержала победу на международном кадетском турнире в Германии, получила бронзу на юниорском чемпионате мира во Франции.
В 1992 году Богомягкова вышла на взрослый уровень: выиграла первенство СНГ, взяла серебро на международном турнире класса «А» в Софии, удостоилась бронзовой награды на командном чемпионате Европы в Леондинге.
Рассматривалась в числе кандидатов на участие в летних Олимпийских играх в Барселоне, куда женское дзюдо впервые было включено в качестве полноценной дисциплины. Тем не менее, в её весе для участия в Играх была выбрана дзюдоистка из Санкт-Петербурга Елена Петрова, которая в итоге стала бронзовой призёркой Олимпиады.
На чемпионате России 1994 года в Красноярске Богомягкова заняла второе место, уступив в финале Петровой. В следующем сезоне на всероссийском первенстве в Рязани всё же стала чемпионкой страны, кроме того, получила серебро на международном турнире в Израиле, бронзу на международном турнире в Москве.
Представляя дзюдоистскую команду ЦСКА, побывала на чемпионате мира среди военнослужащих в Италии, откуда привезла награду золотого достоинства. В 1996 году выиграла этап Кубка мира в Варшаве и стала бронзовой призёркой этапа Кубка мира в Москве.
Благодаря череде удачных выступлений удостоилась права защищать честь страны на Олимпийских играх в Атланте — в стартовом поединке победила предыдущую олимпийскую чемпионку из Франции Катрин Флёри-Вашон, однако при этом травмировала кисть и второй поединок провела неудачно, проиграв японке Юко Эмото, которая в итоге и стала победительницей олимпийского турнира.
В утешительных встречах за третье место так же не имела успеха, потерпела поражение от представительницы Израиля Яэль Арад. После атлантской Олимпиады Татьяна Богомягкова ещё в течение некоторого времени оставалась в основном составе российской национальной сборной по дзюдо и продолжала принимать участие в крупнейших международных турнирах.
Так, в 1997 году в составе клуба «Пермские медведи» она выиграла финал клубного Кубка Европы во Франции, стала третьей в зачёте чемпионата России в Москве.
Последний раз показала сколько-нибудь значимые результаты на международной арене в сезоне 1998 года, когда дошла до стадии четвертьфиналов на московском этапе мирового кубка.
Вскоре по окончании этих соревнований из-за накопившихся травм приняла решение завершить карьеру профессиональной спортсменки, уступив место в сборной молодым российским дзюдоисткам.
За выдающиеся спортивные достижения удостоена почётного звания «Мастер спорта России международного класса». Впоследствии занималась тренерской деятельностью, работала менеджером в сети спортивных магазинов «Спарта».
